Édes Emil - SECTIO AUREA

A φ, φ2, φ3 és a φ4

Parthenon

φ = Φ - 1 = 1 / Φ
Az eredmény a Fibonacci2871 és a Fibonacci2872 hányadosa

φ = 0.
6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 94275219...

φ2 = 1 - φ = 1 / (1 + Φ)
Az eredmény a Fibonacci2870 és a Fibonacci2872 hányadosa

φ2 = 0.
3819660112 5010515179 5413165634 3618822796 9082019423 7137864551 3772947395 3718109755 0292792795 8106088625 1524591192 4613108247 8733661377 7646306820 6819939233 2736455666 1091340406 0417094361 6773386800 7170973211 9324791233 1074982883 0379296777 8956783730 4513737036 8638556185 0241298779 6591941120 4554525075 3814304635 1355507589 5567922865 5052950434 1532114901 2566055778 7455122933 5219084115 3925001128 7599234782 9424820211 6583374375 0592410930 2959997187 8957237822 8882221946 8468285898 8295333400 8533020126 8238643993 2912519289 8682047631 05724780...

φ3 = 1 / (1 + 2Φ) = sqrt 5 - 2
Az eredmény a Fibonacci2869 és a Fibonacci2872 hányadosa

φ3 = 0.
2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 2563780489 9414414408 3787822749 6950817615 0773783504 2532677244 4707386358 6360121533 4527088667 7817319187 9165811276 6453226398 5658053576 1350417533 7850034233 9241406444 2086432539 0972525926 2722887629 9517402440 6816117759 0890949849 2371390729 7288984820 8864154268 9894099131 6935770197 4867888442 5089754132 9561831769 2149997742 4801530434 1150359576 6833251249 8815178139 4080005624 2085524354 2235556106 3063428202 3409333198 2933959746 3522712013 4174961420 2635904737 8855043...

φ4 = 1 / (2 + 3Φ)
Az eredmény a Fibonacci2868 és a Fibonacci2872 hányadosa

φ4 = 0.
1458980337 5031545538 6239496903 0856468390 7246058271 1413593654 1318842186 1154329265 0878378387 4318265875 4573773577 3839324743 6200984133 2938920462 0459817699 8209366998 3274021218 1251283085 0320160402 1512919635 7974373699 3224948649 1137890333 6870351191 3541211110 5915668555 0723896338 9775823361 3663575226 1442913905 4066522768 6703768596 5158851302 4596344703 7698167336 2365368800 5657252346 1775003386 2797704348 8274460534 9750123125 1777232790 8879991563 6871713468 6646665840 5404857696 4886000202 5599060380 4715931979 8737557869 6046142893 1717434...

Fn = 1 / sqrt 5 * [((1 + sqrt 5) / 2) n - ((1 - sqrt 5) / 2)n]
Fibonaccin=2870


2786393929 3934741354 7257217728 0907694339 3151874450 7948571116 4226619603 2272559641 6904695452 4695601418 0937161062 6010984258 3189025618 4986440768 1109383382 4774749497 2471382221 0546075752 6591784174 2922964289 1850730607 2571744009 3073556143 5278779360 2764957581 3537711464 3934663828 6231334691 3964801942 1154559214 0127348176 1841085386 9652796899 4415784955 2792651115 4313933782 3019098240 5002252800 1590133551 3018214565 9719398356 0501051531 9593395486 2466464885 1838644227 1381449300 7310017905 7370921498 7435804040 2473235900 4178828677 7121252265 1312845431 1061310808 4853502791 7130739569 1405352672 9663981363 9325259789 5627955785

Fibonacci2871


4508480083 8050158293 1423975694 6048239190 7691031452 9261409905 3049949541 5568994927 6404623886 4204612592 5536783047 6539802468 2393885574 4680098439 7628404946 0668135452 5315382112 9183532320 2914179377 4394236214 2144040239 5478877375 8931600352 1229110423 0865366846 4879894937 1690685622 2249037137 4312431400 2765250956 5202657154 4037870895 1228525143 5536846187 1185540780 0035253443 0583110126 0171595730 1074634311 1118558613 4577662039 4915880171 4996284446 5601561537 6753947774 2592174831 8187724964 2724422015 2195813259 6695336343 6331041660 9285719272 6280950297 1646352073 5419608369 9420877021 3174230704 0795634281 4684773734 8484625954

Fibonacci2872


7294874013 1984899647 8681193422 6955933530 0842905903 7209981021 7276569144 7841554569 3309319338 8900214010 6473944110 2550786726 5582911192 9666539207 8737788328 5442884949 7786764333 9729608072 9505963551 7317200503 3994770846 8050621385 2005156495 6507889783 3630324427 8417606401 5625349450 8480371828 8277233342 3919810170 5330005330 5878956282 0881322042 9952631142 3978191895 4349187225 3602208366 5173848530 2664767862 4136773179 4297060395 5416931703 4589679932 8068026422 8592592001 3973624132 5497742870 0095343513 9631617299 9168572244 0509870338 6406971537 7593795728 2707662882 0273111161 6551616590 4579583377 0459615645 4010033524 4112581739

A Φ és a φ hatványainak logaritmus naturalis értékeihez tartozó hyperbolikus függvényértékek gyökös kifejezései
A Φ és a φ kapcsolata a hyperbolikus függvényekkel
k sinh ln φk sinh ln Φk cosh ln φk
cosh ln Φk		 tanh ln φk
tanh ln Φk
1 -1/2 1/2 √5/2 √5/5
2 -√5/2 √5/2 3/2 √5/3
3 -2 2 √5 2√5/5
4 -3√5/2 3√5/2 7/2 3√5/7
5 -11/2 11/2 5√5/2 11√5/25
6 -4√5 4√5 9 4√5/9
7 -29/2 29/2 13√5/2 29√5/65
8 -21√5/2 21√5/2 47/2 21√5/47
9 -38 38 17√5 38√5/85
10 -55√5/2 55√5/2 123/2 55√5/123
11 -199/2 199/2 89√5/2 199√5/445
12 -72√5 72√5 161 72√5/161
13 -521/2 521/2 233√5/2 521√5/1165
14 -377√5/2 377b>√5/2 843/2 377√5/843
15 -682 682 305√5/2 682√5/1525


Gondolatok a TI-59 programozható számológépröl


Kellemes emlékként őrzöm magamban mindazt az időtöltést, amelyet a φ megismerésével tölthettem; amikor a számelmélet vagy a numerikus kiszámíthatóság tárgykörébe eső bármely kérdéssel foglalkozhattam. Külön szerencsémnek érzem, hogy sorsom megajándékozott az algebra és az analízis iránti érdeklődéssel, melynek eredményeként számos alkalmazható módszerrel ismerkedhettem meg. Az elméleti módszerek konkrét megvalósításának folyamatát – amely a φ értékének numerikus kiszámítását jelenti –, a következő fázisokra bontottam:

  • Az alkalmazott eszköz (TI-59 típusú zsebkalkulátor) adottságai, egy-egy 600 számjegyből álló Fibonacci–szám (Fn vagy Fibn) kiszámítását tette lehetővé. Ennek alapján választottam ki a Fib2871 és a Fib2872 számokat, a Fib1=1; Fib2=1; Fibn+2=Fibn+Fibn+1 feltételeknek megfelelően.
  • Az azóta eltelt évtizedek elképesztő hardver–szoftver fejlődése, múzeális jellegűvé tette a 80-as évek megoldásait, amelyekre programozóként nosztalgiával gondolok vissza; nem egy esetben csak a program átstrukturálásával, esetleg trükkök alkalmazásával lehetett megoldást találni. A szűkös lehetőségek közt elvégzett feladatmegoldások során, a programozókban fokozódott a koncentrációra való igény és a szakmai fegyelmezettség. Ezek a tényezők nagy mértékben befolyásolták saját értékrendszerem kialakulását is; mindezt egy programozást érintő példával illusztrálva: egy Horner–elrendezéssel felírt megoldás közelebb áll hozzám, mint egy hatványkifejezés. Végezetül itt kell megemlítenem, hogy az alkalmazott számítástechnikai eszköz által elért eredmény csak a saját kategóriájában értékelhető, mivel ezekben az években már komoly hardver (IBM) és szoftver (FORTRAN, PL/I, stb.) erőforrások álltak rendelkezésre, de igény­be­vé­telükre nem került sor, mivel az alkalmazott algoritmusok teszteléséhez ez a kapacitás is elegendő volt.
  • A játékos és nosztalgikus részt egy kis „csemegével” zárom, amely nem más, mint a négyzetgyök 5 kiszámításának „kézi” módszere. Az érthetőség kedvéért készítettem a részösszegeket kiíró kis scriptet, ebből jól kivehető az algoritmus lényege. Van olyan, hogy retro számtan?

Négyzetgyök számításának algoritmusa
Szám beírása
Tizedesjegyek száma
 

N-edik tizedesjegy
Osztandó
Szorzat
Különbség
Osztó
Digit
Eredmény (int)
Eredmény (str)
Kontrol: sqrt()

Ha valóban létezik olyan, hogy retro számtan, akkor a következőkben leírtak megfelelnek ennek a kategó­riá­nak. A mintapéldában megadott egész természetesen az 5, a számítás pedig 12 tizedesjegy pontosságra történt. Nem tudom, hogy manapság tananyag-e valahol ez a módszer. Anyagaimat rendezgetve rátaláltam erre a 60-as évekből származó kis irományomra, nagyon meghatott a sok szám a kockás papíron, ezért aztán nem dobtam el. A művelet tehát a következő:

√5 = 2.2360679774 9978969640 9173668731 ...
 4 ÷ 2×2
 100 ÷ 42×2
  84
  1600 ÷ 443×3
  1329
   27100 ÷ 4466×6
   26796
     30400 ÷ 44720×0
     3040000 ÷ 4472066×6
     2683236
      35676400 ÷ 4472127×7
      31304889
       437151100 ÷ 44721349×9
       402492141
        3465895900 ÷ 447213587×7
        3130495109
         33540079100 ÷ 4472135947×7
         31304951629
          223512747100 ÷ 44721359544×4
          178885438176
           4462730892400 ÷ 447213595489×9
           4024922359401
            43780853299900 ÷ 4472135954989×9
            40249223594901

 A következő részben ismertetem a Φ, φ és hatványainak sorbafejtéseit, különféle sorokat amelyekben mindenütt jelen vannak a Fibonacci–számok is.

1. Taylor-sor összegének számítása 5φ–3 == 5Φ–8
Iteráció számának beírása
 

n
Fibonaccin
Fibonaccin+1
Fibonaccin+2
Fibonaccin+3
1. tag összege
2. tag összege
SOR ÖSSZEGE

A sor összege (x), amelyre az 1/x == 11 + x egyenlőség áll fenn.
Másodfokú egyenletként felírva: x2 + 11x - 1 = 0 adódik, ahol az együtthatók: a = 1, b = 11, c = -1
Az egyenlet gyökei:
  x1 = 0.090169943749...
  x2 = 11.090169943749...
Érdemes észrevenni, hogy négyzetgyök 53 a determináns értéke, ami önmagában is pikáns.
A sor összege még sokféleképpen felírható. Talán a legizgalmasabb kifejezés az 5φ – 3 == 5Φ – 8, amely kifejezés értéke a φ5. Ebben az összefüggésben a kérdéskőr minden eleme megtalálható. Hasonlóan mint a négyzet­gyök­vo­násnál, itt is elhelyeztem egy scriptet, amelyet működésében és szerkezetében is meg lehet nézni. Végezetül közlöm magát a sort, remélve, hogy az átláthatóságot nem rontja a megszokottól eltérő felírási mód.

1 ÷ (1 × 2) - 1 ÷ (1 × 2 × 3) -
1 ÷ (1 × 3) + 1 ÷ (2 × 3 × 5) +
1 ÷ (2 × 5) - 2 ÷ (3 × 5 × 8) -
1 ÷ (3 × 8) + 3 ÷ (5 × 8 × 13) +
1 ÷ (5 × 13) - 5 ÷ (8 × 13 × 21) -
1 ÷ (8 × 21) + 8 ÷ (13 × 21 × 34) +
1 ÷ (13 × 34) - 13 ÷ (21 × 34 × 55) -
1 ÷ (21 × 55) + 21 ÷ (34 × 55 × 89) +
1 ÷ (34 × 89) - 34 ÷ (55 × 89 × 144) - ...

2. Taylor-sor összegzése φ5 == 5φ–3 == 5Φ–8
Iteráció számának beírása
 

n
Fibonaccin
Fibonaccin/2
Fibonaccin/2+1
Fibonaccin/2+3
Tag összege
SOR ÖSSZEGE
Hiba

az érdekesség kedvéért még egy φ5 értékét közelítő sorral foglalkozom kissé részletesebben. Az érdek­lő­dőknek itt is rendelkezésére áll a JavaScript prog­ra­mocska, amelyből akár ötletet is meríthetnek. A sor:

1 ÷ (1 × 1 × 1 × 3) - 3 ÷ (1 × 1 × 2 × 5) +
8 ÷ (2 × 2 × 3 × 8) - 21 ÷ (3 × 3 × 5 × 13) +
55 ÷ (5 × 5 × 8 × 21) - 144 ÷ (8 × 8 × 13 × 34) +
377 ÷ (13 × 13 × 21 × 55) - 987 ÷ (21 × 21 × 34 × 89) + ...

Érdemes a következő összefüggést áttanulmányozni, amelyben az adott Fibonacci–számok helyett, azok sorszámai (n) láthatóak:

1 ÷ (1 × 1 × 2 × 4) - 4 ÷ (2 × 2 × 3 × 5) +
6 ÷ (3 × 3 × 4 × 6) - 8 ÷ (4 × 4 × 5 × 7) +
10 ÷ (5 × 5 × 6 × 8) - 12 ÷ (6 × 6 × 7 × 9) +
14 ÷ (7 × 7 × 8 × 10) - 16 ÷ (8 × 8 × 9 × 11) + ...

A φ és hatványainak algebrai kapcsolatai
  A φ hatványainak kifejezései
(φ, Φ és Fibonacci–számok)		 A hatvány egyenlete
(Lucas számok)		 Az egyenlet gyökei
(ax2 + bx + c = 0)		 A φn értéke
φ   1 / x == 1 + x a = 1; b = 1; c = –1 0,61803398874989484820
φ2 1 – φ == 2 – Φ 1 / x == 3 – x a = –1; b = 3; c = –1 0,38196601125010515179
φ3 2φ – 1 == 2Φ – 3 1 / x == 4 + x a = 1; b = 4; c = –1 0,23606797749978969640
φ4 2 – 3φ == 5 – 3Φ 1 / x == 7 – x a = –1; b = 7; c = –1 0,14589803375031545538
φ5 5φ – 3 == 5Φ – 8 1 / x == 11 + x a = 1; b = 11; c = –1 0,09016994374947424102
φ6 5 – 8φ == 13 – 8Φ 1 / x == 18 – x a = –1; b = 18; c = –1 0,05572809000084121436
φ7 13φ – 8 == 13Φ – 21 1 / x == 29 + x a = 1; b = 29; c = –1 0,03444185374863302665
φ8 13 – 21φ == 34 – 21Φ 1 / x == 47 – x a = –1; b = 47; c = –1 0,02128623625220818770
φ9 34φ – 21 == 34Φ – 55 1 / x == 76 + x a = 1; b = 76; c = –1 0,01315561749642483895
φ10 34 – 55φ == 89 – 55Φ 1 / x == 123 – x a = –1; b = 123; c = –1 0,00813061875578334874
φ11 89φ – 55 == 89Φ – 55 1 / x == 199 + x a = 1; b = 199; c = –1 0,00502499874064149020
φ12 89 – 144φ == 233 – 144Φ 1 / x == 322 – x a = –1; b = 322; c = –1 0,00310562001514185853
φ13 233φ – 144 == 233Φ – 377 1 / x == 521 + x a = 1; b = 521; c = –1 0,00191937872549963166


A különféle sorok közlése előtt – az átláthatóság kedvéért –, célszerűnek tartottam ezeket az összefüggéseket egy táblázatban összefoglalni, amelyből a következő általánosítások állapíthatók meg:

φn  =   (Fn-1 – Fnφ) × (–1)n   =   (Fn+1 – FnΦ) × (–1)n

A φn értékeket meghatározó egyenlőségek egyik tényezője a Fibonacci–számok „mutációjaként” is felfogható Lucas szám. Az összefüggést másodfokú egyenletként felírva, a b együttható minden esetben Lucas szám (Ln).
(Lucas számok: L1=1, L2=3, L3=4, L4=7, L5=11 ...)

φn esetén:     1 / x = Ln – x(–1)n

F o l y t a t á s . . .



Egyre inkább igaz a szlogen, hogy „ami nincs az interneten, az nem is létezik”. Hangsúlyos lett a keresés, lényeges, hogy mit, hol és hogyan keresünk. Mindez a matematika, az informatika és a programozás területére is igaz, ahol a legáltalánosabb témáktól a legspecifikusabb kérdésekig mindent megtalálhatunk. Bizonyára ebben a témában is számtalan közlés található, de ebben az összefüggésben még nem találkoztam vele. Ezért döntöttem a program közzététele mellett. A forrásanyag iránt érdeklődő olvasó a (kozelitotortek.js) programot keresse.

  • A pogram felhasználhatóságát tekintve egy számítási segédlet, bármely tetszés szerinti irracionális szám értékét közelítő tört számlálójának és nevezőjének előállítására; vagy valamely véges vagy végtelen lánctört jegyeinek bevitelét követően, a tört értékét adja vissza. (Ebben az esetben az algoritmus nem végez korrekciót a maradékok számításánál, mivel azért lett a program elé illesztve, hogy az lánctört jegyei változatlanok maradjanak, vagyis a js program ne számolja át a beírt adatokat.) Ez lehetővé teszi, hogy az alkalmazott aritmetikánál nagyobb számítási pontossággal előállított értékekkel dolgozzunk.
  • Az algoritmust futtató programot több funkcióval is bővítettem; így beírható az adott lánctört 21 eleme
    a0–tól a20–ig (első táblázat);
  • vagy a tizdestört megadása esetén (2. táblázat) Qn / Pn rubrikájában elhelyeztem az nedik közelítés hibáját is.
  • A lánctörtek jegyeit a szokásos formában és egy adatbevitelt megkönnyítő módon is megadom, elsőként az
    Euler-konstans lánctörtbe fejtett alakja, majd a másik formában megadott formában:
    e =
    [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,14]
    e =
    a0=2; a1=1, a2=2, a3=1, a4=1, a5=4, a6=1, a7=1, a8=6, a9=1, a10=1, a11=8, a12=1, a13=1, a14=10, a15=1, a16=1, a17=12, a18=1, a19=1, a20=14,...


Számításaim elvégzéséhez alkalmas, gyors és könnyen kezelhető kalkulátort kerestem. Szerencsémre egy csodálatos eszközre találtam, amely a „Smart Math Calculator”. Ingyenes „Free Edition” változata is 100 számjegy pontossággal működik; További két fizetős változata közül a „Standard Edition” 1000 decimális számjeggyel. A „Professional Edition” változata definiálatlan hosszúságú számokat állít elő, valószínű, hogy a rendelkezésre álló erőforrások függvényében. Számelméleti vagy bármely nagy számítási pontosságot igénylő feladat esetén nélkülözhetetlen eszköz. Letölthető: http://calculator.runiter.com/math-calculator/download-calculator.htm

Így ábrázolja a Smart Math Calculator az Euler-konstans lánctörtbe fejtésének műveletét; rendkívül elegáns módon a filename.smc fájlba mentve. Szemléltetésül a első jegyek:

1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(1/(e-2)-1)-2)-1)-1)-4)-1)-1)-6)-1)-1)-8)-1)-1)-10)-1)-1)-12)-1)-1)-14)-1)-1)-16)-1)-1)-18)-1)-1)-20)-1)-1)-22)-1)-1)-24)-1)-1)-26)-1)-1)-28)-1)-1)-30)-1)-1)-32)-1)-1)-34)-1)-1)-36)-1)-1)-38)-1)-1)-40)-1)-1)-42)-1)-1)-44)-1)-1)-46)-1)-1)-48)-1)-1)-50)-1)-1)-52)-1)-1)-54

Végül az aranymetszéshez kapcsolódó φ hatványainak és néhány prímszám négyzetgyökének a lánctörtbe fejtett jegyei:

φ [0;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]   sqrt(2) [1;2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2]
φ2 [0;2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]   sqrt(3) [1;1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2]
φ3 [0;4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4]   sqrt(5) [2;2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2]
φ4 [0;6,1,5,1,5,1,5,1,5,1,5,1,5,1,5,1,5,1,5,1]   sqrt(7) [2;1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4]
φ5 [0;11,11,11,11,11,11,11,11,11,11,11,11]   sqrt(11) [3;3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6,3,6]
φ6 [0;17,1,16,1,16,1,16,1,16,1,16,1,16,1,16]   sqrt(13) [3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6]
φ7 [0;29,29,29,29,29,29,29,29,29,29,29,29]   sqrt(17) [4;8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8]
φ8 [0;46,1,45,1,45,1,45,1,45,1,45,1,45,1,45]   sqrt(19) [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8]
φ9 [0;76,76,76,76,76,76,76,76,76,76,76,76]   sqrt(23) [4;1,3,1,8,1,3,1,8,1,3,1,8,1,3,1,8,1,3,1,8,]
φ10 [0;122,1,121,1,121,1,121,1,121,1,121]   sqrt(31) [5;2,1,1,2,10,2,1,1,2,10,2,1,1,2,10]
φ11 [0;199,199,199,199,199,199,199,199]   sqrt(41) [6;1,1,3,5,3,1,1,10,1,1,3,5,3,1,1,10]


Ebbe a táblázatba (T1) kell beírni a lánctört jegyeit! Eredmény kiírása a következő táblázatban (T2)
  a0   a1   a2   a3   a4   a5   a6
  a7   a8   a9   a10   a11   a12   a13
  a14   a15   a16   a17   a18   a19   a20

Vizsgálandó szám: 
Az adott szám értékét közelítő törtek számlálóinak (Pn) és nevezőinek (Qn) előállítása
n an Pn Qn Pn / Qn
0
ELTÉRÉS
1
ELTÉRÉS
2
ELTÉRÉS
3
ELTÉRÉS
4
ELTÉRÉS
5
ELTÉRÉS
6
ELTÉRÉS
7
ELTÉRÉS
8
ELTÉRÉS
9
ELTÉRÉS
10
ELTÉRÉS
11
ELTÉRÉS
12
ELTÉRÉS
13
ELTÉRÉS
14
ELTÉRÉS
15
ELTÉRÉS
16
ELTÉRÉS
17
ELTÉRÉS
18
ELTÉRÉS
19
ELTÉRÉS
20
ELTÉRÉS

Irodalom: Dr Sárközi András: Számelmélet és alkalmazásai 2.7.4.
J. Duncan: Bevezetés a komplex függvénytanba




Counter